３次元箱型ポテンシャル問題の具体例とその解き方

箱型ポテンシャル(3次元井戸型ポテンシャル)問題におけるシュレディンガー方程式の解き方，およびその解をまとめました。

これは3次元における自由粒子(力がまったくはたらいていない)であり，シュレディンガー方程式は $V(\boldsymbol)=0$ として次のように書くことが出来ます。 \[ -\frac\nabla^2 \varphi (\boldsymbol)=E\varphi (\boldsymbol)\] 本問においては3次元直行座標系で考えるので \[-\frac \left( \frac +\frac+\frac \right) \varphi (x,y,z)=E \varphi (x,y,z)\] とすると良いですね。

3次元シュレディンガー方程式を変数分離法で解く

3次元のシュレディンガー方程式を解いてみましょう。これは3次元の偏微分方程式であり，定石に従って \[\varphi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) \] とする変数分離を仮定することで見通し良く解くことが出来ます。実際これをシュレディンガー方程式に代入すると \[-\frac \left( \frac +\frac+\frac \right) X(x)Y(y)Z(z)=E X(x)Y(y)Z(z)\] すなわち \[-\frac \left( \frac+\frac +\frac\right) =E\] となります。ここで，右辺は定数であることから，左辺の展開したもの項もそれぞれ定数にならなければなりません。

具体的に，例えば $x$ に関する項はどのように書けるのか見てみましょう。先程の式は次のように書き直すことができます。\[-\frac\frac =\frac\left( \frac +\frac\right)+E\] この式において左辺は $x$ のみの関数，右辺は $y,z$ のみの関数であるので，成り立つためには両辺が $x,y,z$ によらない定数でなくてはいけません。これをここでは $E_x$ としましょう。すると先程の式は \[-\fracX^(x) = E_x X(x)\] という単純な微分方程式に帰着します。$y,z$ についても同様に考えると \[-\fracY^(y) = E_y Y(y), \quad -\fracZ^(z) = E_z Z(z)\] という微分方程式を得ることが出来ます。尚，ここで用いた$E_x,E_y,E_z$はその対称性から \[E_x+E_y+E_z=E\] を満たします。この関係式は後ほど系全体のエネルギー固有値を考えるときに改めて使います

微分方程式の解き方とその解

エネルギー固有値と縮退

$y,z$ 方向のエネルギー固有値も上記と同様にして \[E_=\frac\left(\frac\right)^2, \quad E_=\frac\left(\frac\right)^2\] と求めることが出来ます。各方向のエネルギー固有値と系全体のエネルギー固有値の間には \[E_+E_+E_=E\] の関係があったので，これより，3次元箱型ポテンシャルのエネルギー固有値は

ここで上式を $a=b=c$ とすると \[E=\frac(n_x^2+n_y^2+n_z^2)\] を得ますが，ここで $n_x,n_y,n_z$ は任意の正の整数であるので，例えば $(n_x,n_y,n_z)=(0,1,2),(0,2,1)$ などはいずれも同じエネルギー固有値 $E$ を表します。

このように異なる $n$ 個の状態が同じエネルギー状態を持つときこれを $n$ 重に縮退するといいます。