オイラーの運動方程式・流線・ベルヌーイの定理の導出

この記事では，流体力学の基礎方程式であるナビエーストークス方程式やオイラーの方程式から出発し，流線や渦度ベクトル，速度ポテンシャルなどの重要な概念を導入したのち，2種類のベルヌーイの定理を導出します。

完全流体について， ρ < ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v >= ρ X − ∇ p \rho\left\lbrace\dfrac+(\boldsymbol\cdot\nabla)\boldsymbol\right\rbrace=\rho\boldsymbol-\nabla p ρ < ∂ t ∂ v ​ + ( v ⋅ ∇ ) v >= ρ X − ∇ p が成り立つ。ここで v \boldsymbol v は流体の速度ベクトル， X \boldsymbol X は単位質量あたりに流体に働く外力， ρ \rho ρ は流体の密度， p p p は流体の圧力を表す。

ナビエ-ストークス方程式とオイラーの運動方程式を見比べてみると，オイラーの運動方程式では，粘性項 μ ∇ 2 v \mu\nabla^2\boldsymbol μ ∇ 2 v がないことがわかります。これが，流体に粘性がないと仮定した効果となっています。

ベルヌーイの定理Ⅰの導出にあたって，重要な概念である 流線 を紹介します。流線とは，時間的に流れが一定の流体(定常流)において，各点での速度ベクトルを繋ぎ合わせた曲線として定義されます。すなわち，流線の接線が速度ベクトルになります。速度ベクトルを v = ( u , v , w ) \boldsymbol=(u,v,w) v = ( u , v , w ) としたとき， q = d s d t = u 2 + v 2 + w 2 q=\dfrac=\sqrt q = d t d s ​ = u 2 + v 2 + w 2

​ を満たすような s s s をパラメータとして流線を記述することにします。

このとき， u = d x d t = d x d s d s d t = q d x d s u=\dfrac=\dfrac\dfrac=q\dfrac u = d t d x ​ = d s d x ​ d t d s ​ = q d s d x ​ が成り立ちます。同様に， v = ( u , v , w ) = ( q d x d s , q d y d s , q d z d s ) \boldsymbol=(u,v,w)=\left(q\dfrac,q\dfrac,q\dfrac\right) v = ( u , v , w ) = ( q d s d x ​ , q d s d y ​ , q d s d z ​ ) と表すことができます。

この s s s を用いた表示を使って，ベルヌーイの定理Ⅰを導出していきます。

保存力のみが外力としてはたらく定常流では流線に沿って 1 2 q 2 + U + ∫ d p ρ = c o n s t . \dfracq^2+U+\int\dfrac=\mathrm 2 1 ​ q 2 + U + ∫ ρ d p ​ = const. が成り立つ。

ここで q q q は流速， U U U は保存力のポテンシャルエネルギー， ρ \rho ρ は流体の密度， p p p は流体の圧力を表す。 P = ∫ d p ρ P=\int\dfrac P = ∫ ρ d p ​ を 圧力関数 と呼ぶこともある。

定常流においては， ∂ v ∂ t = 0 \dfrac=0 ∂ t ∂ v ​ = 0 である。このとき，オイラーの運動方程式はポテンシャルエネルギー U U U を用いて， ( v ⋅ ∇ ) v = − ∇ ( U + P ) (\boldsymbol\cdot\nabla)\boldsymbol=-\nabla (U+P) ( v ⋅ ∇ ) v = − ∇ ( U + P ) と表せる。ただし P = ∫ d p ρ P=\int\dfrac P = ∫ ρ d p ​ を用いた。ここでこの式の x x x 成分を考える。 x x x 成分は， u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = − ∂ ∂ x ( U + P ) u\dfrac+v\dfrac+w\dfrac=-\dfrac(U+P) u ∂ x ∂ u ​ + v ∂ y ∂ u ​ + w ∂ z ∂ u ​ = − ∂ x ∂ ​ ( U + P ) となる。これに流線の式， ( u , v , w ) = ( q d x d s , q d y d s , q d z d s ) (u,v,w)=\left(q\dfrac,q\dfrac,q\dfrac\right) ( u , v , w ) = ( q d s d x ​ , q d s d y ​ , q d s d z ​ ) を代入すると， u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = q ( ∂ u ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ s + ∂ u ∂ z ∂ z ∂ s ) = q d u d s u\dfrac+v\dfrac+w\dfrac=q\left(\dfrac\dfrac+\dfrac\dfrac+\dfrac\dfrac\right)=q\dfrac u ∂ x ∂ u ​ + v ∂ y ∂ u ​ + w ∂ z ∂ u ​ = q ( ∂ x ∂ u ​ ∂ s ∂ x ​ + ∂ y ∂ u ​ ∂ s ∂ y ​ + ∂ z ∂ u ​ ∂ s ∂ z ​ ) = q d s d u ​ よって q d u d s = − ∂ ∂ x ( U + P ) q\dfrac=-\dfrac(U+P) q d s d u ​ = − ∂ x ∂ ​ ( U + P ) .

この左辺と右辺にそれぞれ， 1 q u = d x d s \dfracu=\dfrac q 1 ​ u = d s d x ​ の左辺と右辺をかけると， 1 2 d u 2 d s = − ∂ ∂ x ( U + P ) d x d s \dfrac\dfrac=-\dfrac(U+P)\dfrac 2 1 ​ d s d u 2 ​ = − ∂ x ∂ ​ ( U + P ) d s d x ​ .

y y y 成分， z z z 成分も同様に， 1 2 d v 2 d s = − ∂ ∂ x ( U + P ) d y d s \dfrac\dfrac=-\dfrac(U+P)\dfrac 2 1 ​ d s d v 2 ​ = − ∂ x ∂ ​ ( U + P ) d s d y ​

1 2 d w 2 d s = − ∂ ∂ x ( U + P ) d z d s \dfrac\dfrac=-\dfrac(U+P)\dfrac 2 1 ​ d s d w 2 ​ = − ∂ x ∂ ​ ( U + P ) d s d z ​ x , y , z x,y,z x , y , z 成分に関して両辺和をとると， u 2 + v 2 + z 2 = q 2 u^2+v^2+z^2=q^2 u 2 + v 2 + z 2 = q 2

∂ ∂ x ( U + P ) d x d s + ∂ ∂ x ( U + P ) d y d s + ∂ ∂ x ( U + P ) d z d s = d d s ( U + P ) \dfrac(U+P)\dfrac+\dfrac(U+P)\dfrac+\dfrac(U+P)\dfrac=\dfrac(U+P) ∂ x ∂ ​ ( U + P ) d s d x ​ + ∂ x ∂ ​ ( U + P ) d s d y ​ + ∂ x ∂ ​ ( U + P ) d s d z ​ = d s d ​ ( U + P ) より， d d s ( 1 2 q 2 + U + P ) = 0 \dfrac\left(\dfracq^2+U+P\right)=0 d s d ​ ( 2 1 ​ q 2 + U + P ) = 0 を得る。 s s s は流線を記述するパラメータなので，結論を得る。

さて，ベルヌーイの定理Ⅱに向け，渦を記述する物理量として 渦度ベクトル を導入します。

ω = r o t v = ( ∂ w ∂ y − ∂ v ∂ z , ∂ u ∂ z − ∂ w ∂ x , ∂ v ∂ x − ∂ u ∂ y ) \boldsymbol=\mathrm>=\left(\dfrac-\dfrac,\dfrac-\dfrac,\dfrac-\dfrac\right) ω = rot v = ( ∂ y ∂ w ​ − ∂ z ∂ v ​ , ∂ z ∂ u ​ − ∂ x ∂ w ​ , ∂ x ∂ v ​ − ∂ y ∂ u ​ )

以下で紹介するベルヌーイの定理Ⅱは，渦がない状態を考えますが，流体に渦がない条件は ω = 0 \boldsymbol ω = 0 で表されます。この時，ある重要な性質が流体について成り立ちます。

渦がない流体について， 速度ポテンシャル ϕ \phi ϕ が存在し，流体の速度 v \boldsymbol v は ϕ \phi ϕ を用いて v = ( u , v , w ) = g r a d ϕ = ( ∂ ϕ ∂ x , ∂ ϕ ∂ y , ∂ ϕ ∂ z ) \boldsymbol=(u,v,w)=\mathrm=\left(\dfrac,\dfrac,\dfrac\right) v = ( u , v , w ) = grad ϕ = ( ∂ x ∂ ϕ ​ , ∂ y ∂ ϕ ​ , ∂ z ∂ ϕ ​ ) と表される。

ベクトル解析の有名な定理として，以下の命題が同値になることが知られている。 r o t E = 0 ⟺ あるスカラーポテンシャル ϕ ( r ) が存在して， E ( r ) = − g r a d ϕ ( r ) が成立する \begin &\mathrm \boldsymbol = \boldsymbol\\ &\iff\\ &\text \phi(\boldsymbol) \text \boldsymbol(\boldsymbol) = -\mathrm \phi(\boldsymbol) \text \end ​ rot E = 0 ⟺ あるスカラーポテンシャル ϕ ( r ) が存在して， E ( r ) = − grad ϕ ( r ) が成立する ​ ここで，スカラーポテンシャル ϕ \phi ϕ は定数の自由度を除いて一意に定まるものである。

さて，流体に渦がない時， ω = 0 \boldsymbol ω = 0 が成り立つ。 上記の定理により，ある適当な関数 ϕ \phi ϕ を用いて v = g r a d ϕ \boldsymbol=\mathrm v = grad ϕ とおくことができる。

渦がない流れのことを ポテンシャル流 ということもあります。 ここまでで導入した概念を用いて，ベルヌーイの定理Ⅱを記述していきます。

渦がない流体の全領域において， ∂ ϕ ∂ t + 1 2 q 2 + U + P = f ( t ) \dfrac+\dfracq^2+U+P=f(t) ∂ t ∂ ϕ ​ + 2 1 ​ q 2 + U + P = f ( t ) が成り立つ。ここで f ( t ) f(t) f ( t ) は t t t の一価関数である。

オイラーの運動方程式の x x x 成分は， ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = − ∂ ∂ x ( U + P ) \dfrac+u\dfrac+v\dfrac+w\dfrac=-\dfrac(U+P) ∂ t ∂ u ​ + u ∂ x ∂ u ​ + v ∂ y ∂ u ​ + w ∂ z ∂ u ​ = − ∂ x ∂ ​ ( U + P ) このとき渦度ベクトル ω = 0 \boldsymbol ω = 0 の条件より， ∂ u ∂ y = ∂ v ∂ x , ∂ u ∂ z = ∂ w ∂ x \dfrac=\dfrac,\dfrac=\dfrac ∂ y ∂ u ​ = ∂ x ∂ v ​ , ∂ z ∂ u ​ = ∂ x ∂ w ​ が成り立つ。これをオイラーの運動方程式の x x x 成分に代入すると， ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ X + w ∂ w ∂ x = − ∂ ∂ x ( U + P ) \dfrac+u\dfrac+v\dfrac+w\dfrac=-\dfrac(U+P) ∂ t ∂ u ​ + u ∂ x ∂ u ​ + v ∂ X ∂ v ​ + w ∂ x ∂ w ​ = − ∂ x ∂ ​ ( U + P ) ここで q 2 = u 2 + v 2 + z 2 q^2=u^2+v^2+z^2 q 2 = u 2 + v 2 + z 2 を両辺 x x x で偏微分して，両辺を 2 2 2 で割ると， u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ X + w ∂ w ∂ x = ∂ q 2 2 ∂ x u\dfrac+v\dfrac+w\dfrac=\dfrac u ∂ x ∂ u ​ + v ∂ X ∂ v ​ + w ∂ x ∂ w ​ = ∂ x ∂ 2 q 2 ​ ​ さらに速度ポテンシャルの表式は， ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t ∂ ϕ ∂ x ＝ ∂ ∂ x ∂ ϕ ∂ t \dfrac=\dfrac\dfrac＝\dfrac\dfrac ∂ t ∂ u ​ = ∂ t ∂ ​ ∂ x ∂ ϕ ​ ＝ ∂ x ∂ ​ ∂ t ∂ ϕ ​

これらを代入して， ∂ ∂ x ( ∂ ϕ ∂ t + 1 2 q 2 + U + P ) = 0 \dfrac\left(\dfrac+\dfracq^2+U+P\right)=0 ∂ x ∂ ​ ( ∂ t ∂ ϕ ​ + 2 1 ​ q 2 + U + P ) = 0

同様の式が， y , z y,z y , z 成分にも成り立つので，結論を得る。