線形写像かどうか調べる方法をわかりやすく解説

線形写像かどうか調べる方法をわかりやすく解説 例えば、次のように書くのは証明になっていません。「\(f(cx)=c^2x^2 \neq cx^2 =cf(x) \)なので、\(f\)は線形写像ではない。」これは間違いです、例えば、\(x=0\)のときは\(c^2x^2 =

例えば、次のように書くのは証明になっていません。「\(f(cx)=c^2x^2 \neq cx^2 =cf(x) \)なので、\(f\)は線形写像ではない。」これは間違いです、例えば、\(x=0\)のときは\(c^2x^2 = cx^2\)です。「任意の\(c,x\)について条件\(P(c,x)\)を満たすこと」の否定は、「ある\(c,x\)が条件\(P(c,x)\)を満たさないこと」です。そのような\(c,x\)の実例を挙げなければ、示したことになりません。

\(g\)も線形写像ではありません。\(g(\frac)=1\)ですが、\(g(\pi)=0\)です。すなわち、\(g(2 \cdot \frac)= 0 \neq 2 = 2g(\frac)\)なので、線形写像ではありません。

\(f\)の定義域、値域が1次元\(\mathbb\)のとき、\(f\)が線形写像ならば、\(f\)は必然的に原点を通る1次関数\(f(x)=ax\)になります。（\(f\)を線形写像とする。\(a:=f(1)\)とおく。線形写像の定義(2)において\(x=1, c=x\)と代入すれば\(x f(1) =f(x)\)、すなわち\(f(x)=ax\)）

2次元以上の例

ベクトルの性質より、\(x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2),cx =(cx_1,cx_2)\)となります。そして、\(f(x+y)= (3(x_2+y_2), 2(x_1+y_2) -(x_2+y_2)) \\=(3x_2,2x_1-x_2)+(3y_2,2y_2-x_1)=f(x)+f(y)\)であり、\(f(cx) =(3cx_2,2cx_1-cx_2) = c(3x_2,2x_1-x_2)=cf(x)\)なので、\(f\)は線形写像です。

\(g\)は線形写像ではありません。原点を通るかどうか、という問題をさきほどやりましたよね。\(g(0(1,0) )=(2,0)\neq (0,0)=0 \cdot g(1,0)\)なので(2)を満たさず、線形写像ではありません。

ちなみに、\(A_f := \begin 0&3 \\ 2&-1 \end\)と置けば、\(f(x) =A_f x\)と行列で表すことができます。

逆に、行列\(A\)により定義される写像\(f(x):=Ax\)は線形写像です。\(A(x+y)=Ax+Ay, A(cx)= cAx\)となるように、行列の積は定義されています。

より変数が増えても同様にチェックできるでしょう。試しに、\(f(x_1,x_2)=(x_1+x_2,x_2,x_1+2x_2)\)、\(g(x_1,x_2,x_3)= (3x_2, 2x_1 -x_3, x_2 x_3)\)が線形写像かどうか調べてみてください。

線形写像の判定法

• \(f(0)=0\)かどうか調べる
• 適当に値を代入して調べる
• 一次関数の和の形になっているか調べる

線形写像は、直線を直線に、平面を平面に写すという性質があります。直線、平面を、歪んだ線や歪んだ面に変えません。これが「線形」と呼ばれるゆえんです。すなわち、線形結合を線形結合に写す\(f(c_1a_1+\cdots c_k a_k)= c_1 f(a_1)+\cdots c_k f(a_k)\)ので、線形空間の線形写像による像は必ず線形空間となります。

ギルバート ストラング(著), 松崎 公紀(翻訳), 新妻 弘(翻訳) 近代科学社 (2015-12-22T00:00:01Z)

齋藤 正彦(著) 東京大学出版会 (1966-03-31T00:00:01Z)

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趣味で数学をしています。修士（理学）。 1992年・群馬生まれ、茨城在住。 ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。

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