テンソルの大雑把な意味と正確な定義

テンソルの大雑把な意味と正確な定義を紹介します。テンソルと多次元配列の違いについても解説します。

このベクトル $\overrightarrow$ は、基底 $e=(\overrightarrow,\overrightarrow)$ を定めれば、2つの実数 $(T^1,T^2)$ で表現できます： $\overrightarrow=T^1\overrightarrow+T^2\overrightarrow\\ =(\overrightarrow,\overrightarrow)\beginT^1\\T^2\end$

そして、基底を $(\overrightarrow,\overrightarrow)=(\overrightarrow,\overrightarrow)R$ のように変換すると、 $\overrightarrow=(\overrightarrow,\overrightarrow)R^\beginT^1\\T^2\end$ となるので、新しい基底での成分は $R^\beginT^1\\T^2\end$ となります。

つまり、平面上の「普通の」ベクトルは以下の２つを満たすので、1階反変テンソルと言えます。・基底を決めると１次元配列（成分を並べたもの）が決まる・$p=1,q=0$ の場合の成分の変換規則： $T^(eR)=\displaystyle\sum_(R^)_^T^(e)$ を満たす

例2. 線形写像

線形写像は 1階反変1階共変テンソルです。

線形写像は、基底を決めると表現行列 $A$ が定まります。

そして、基底を変換する（基底の変換行列を $R$ とする）と、新しい基底での表現行列は $R^AR$ となります。詳しくは相似変換の意味、表現行列や基底の変換行列との関係を整理に記載しています。

よって、線形写像は以下の２つを満たすので、1階反変1階共変テンソルと言えます。・基底を決めると２次元配列（表現行列）が決まる・$p=q=1$ の場合の成分の変換規則を満たす

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