ビュフォンの針の問題と確率の導出

「ビュフォンの針」という有名な確率の問題を紹介。面積を用いて確率を証明。円周率の近似についても。

長方形の面積は π d 4 \dfrac 4 π d ​ であり，青い部分の面積は ∫ 0 π 2 l 2 sin ⁡ θ d θ = l 2 \displaystyle\int_0^\dfrac\sin\theta d\theta=\dfrac ∫ 0 2 π ​ ​ 2 l ​ sin θ d θ = 2 l ​ であるので，求める確率は 2 l π d \dfrac π d 2 l ​ となる。

ここまでは l ≦ d l\leqq d l ≦ d の場合を考えましたが， l > d l>d l > d の場合も考えてみましょう。

ビュフォンの針において l > d l>d l > d の場合，針が線と交わる確率は

2 l π d ( 1 − 1 − d 2 l 2 ) + 1 − 2 π A r c s i n ( d l ) \dfrac\left(1-\sqrt>\right)+1-\dfrac\mathrm\left(\dfrac\right) π d 2 l ​ ( 1 − 1 − l 2 d 2 ​

​ ) + 1 − π 2 ​ Arcsin ( l d ​ )

ただし， A r c s i n \mathrm Arcsin は sin ⁡ \sin sin の逆関数です。→逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

l ≦ d l\leqq d l ≦ d の場合と考え方は同じ。求める確率は図において （青い部分の面積）÷（長方形の面積） である。

ただし， θ 0 \theta_0 θ 0 ​ は l 2 sin ⁡ θ 0 = d 2 \dfrac\sin\theta_0=\dfrac 2 l ​ sin θ 0 ​ = 2 d ​ を満たす。

長方形の面積は π d 4 \dfrac 4 π d ​ であり，青い部分の面積は ∫ 0 θ 0 l 2 sin ⁡ θ d θ + ( π 2 − θ 0 ) ⋅ d 2 = l 2 ( − cos ⁡ θ 0 + 1 ) + π d 4 − d θ 0 2 \begin&\displaystyle\int_0^\dfrac\sin\theta d\theta+(\dfrac-\theta_0)\cdot\dfrac\\ &=\dfrac(-\cos\theta_0+1)+\dfrac-\dfrac\end ​ ∫ 0 θ 0 ​ ​ 2 l ​ sin θ d θ + ( 2 π ​ − θ 0 ​ ) ⋅ 2 d ​ = 2 l ​ ( − cos θ 0 ​ + 1 ) + 4 π d ​ − 2 d θ 0 ​ ​ ​ つまり，求める確率は 2 l π d ( 1 − cos ⁡ θ 0 ) + 1 − 2 θ 0 π = 2 l π d − 2 l π d 1 − sin ⁡ 2 θ 0 + 1 − 2 θ 0 π = 2 l π d ( 1 − 1 − d 2 l 2 ) + 1 − 2 π A r c s i n ( d l ) \begin&\dfrac(1-\cos\theta_0)+1-\dfrac\\ &=\dfrac-\dfrac\sqrt+1-\dfrac\\ &=\dfrac\left(1-\sqrt>\right)+1-\dfrac\mathrm\left(\dfrac\right)\end ​ π d 2 l ​ ( 1 − cos θ 0 ​ ) + 1 − π 2 θ 0 ​ ​ = π d 2 l ​ − π d 2 l ​ 1 − sin 2 θ 0 ​

​ + 1 − π 2 θ 0 ​ ​ = π d 2 l ​ ( 1 − 1 − l 2 d 2 ​

​ ) + 1 − π 2 ​ Arcsin ( l d ​ ) ​

非常に面白い方法ですが，円周率の近似の精度は悪いです（誤差を 1 10 \dfrac 10 1 ​ くらいにするには投げる本数を 100 100 100 倍くらいにする必要がある）。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る