多重対数関数（ポリログ）の関係式一覧・証明付き

二重対数関数、多重対数関数（ポリログ）の特殊値や関数等式の紹介と証明。logを含んだ積分をうまく扱おう。

(4)の左側は(3)で $z=1$ とすればただちに得られます。このことから、$$\Li_2(1)=\frac\quad,\quad\Li_4(1)=\frac$$などの特殊値が分かります。(4)右側は(3)でとる和を偶奇に分けて考えることで$$\Li_s(-1)=\sum_\frac-\sum_\frac=2\sum_\frac-\zeta(s)$$ですので $n=2m$ とおいて総和をとれば(4)右を導けます。

二重対数関数の相反公式

相反公式と(5)(6)の証明

(5)を示します。\begin\Li_2(x)+\Li_2(1-x)&&=-\int_0^x\fracdt-\int_0^\fracdt\\&&=-\int_0^1\fracdt-\int_1^x\fracdt-\int_0^\fracdt\\&&=\Li_2(1)-\int_1^x\fracdt+\int_1^x\fracds\quad(s=1-t)\\&&=\frac-\int_1^x\fracdt-\left[\ln(1-s)\ln s\right]_1^x+\int_1^x\fracds\\&&=\frac-\ln(1-x)\ln x-\left[\ln(1-s)\ln s\right]_\end最後の極限については、同様の考え方を今後多用するのでしっかり押さえておきたいです。$s\to 1$ なので $s$ を改めて $1-s'$ とおけば$$\displaystyle\lim_\ln(1-s)\ln s=\displaystyle\lim_\ln s'\ln (1-s')$$対数のテイラー展開$$\ln(1-x)=-x-\frac-\frac-\cdots$$により、$\ln(1-s')$ が1次のオーダーであることが分かります。よって $\ln s'$ をかけても $\ln(1-s')$ のほうが速く $0$ に収束するので$$\displaystyle\lim_\ln(1-s)\ln s=0$$したがって$$\Li_2(x)+\Li_2(1-x)=\frac-\ln x\ln(1-x)$$

複素数への拡張と(6a)の証明

実数のみを考えてきましたが、(1)にあるように $\Li_2(z)$ は一般の複素数で定義されます。これについてはどこかで詳細に考えたいですが、とりあえず(5)式の複素数バージョン$$\Li_2(z)+\Li_2(1-z)=\frac-\ln z\ln(1-z)$$によって解析接続が可能です。$z=e^$ を代入すると$$\Li_2(-1)+\Li_2(2)=\frac-i\pi\ln2$$(4)を用いて$$\therefore \Li_2(2)=\frac-i\pi\ln2$$

補足 5aの証明

(7)(8)の証明

(9)(10)の証明

Li_3の解析接続と(9A)(10A)

これに $x=2$ を代入することで $\Li_3(2)$ が求まります(10A)。

$$\Li_3(x)-\Li_3\left(\frac\right)=\frac\ln x-\frac\ln^3x-i\frac\ln^2x\quad(x\ge 1)$$を $x$ で割って $1$ から $x$ まで積分することで$$\Li_4(x)+\Li_4\left(\frac\right)=\frac+\frac\ln^2x-\frac\ln^4x-i\frac\ln^3x$$となります。同様の手法で次数をどんどんあげていくことができます。

引数の次数を落とす！(11)の証明

黄金比での等式 (12)(13)の証明

虚数での値(14)~(18)の証明

証明なしの等式について

(99)式はJohn M. Campbell, Some nontrivial two-term dilogarithm identities, Irish Math. Soc. Bulletin Number 88 (2021)より引用しました。

2022年5月3日二重対数関数(dilogarithm)の等式(lntanhの積分と相反公式) 2022年6月13日調和数を含んだ級数とゼータ関数 part1 2022年6月18日調和数を含んだ級数とゼータ関数 part2

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