ルート(無理関数)の微分

ルート(無理関数)を含む関数の微分の計算、関連する問題と解き方についてわかりやすく解説します。

ここで、指数法則から $$\large = x^\frac>$$ であることから、上記の微分公式より \begin \large (\sqrt)\hspace' &\large =&\large (x^\frac)\hspace'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac x^\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac x^\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac \\[0.5em] \end と導出されます。

したがって、\(\displaystyle \large>\) の導関数は \(\displaystyle\large>>\) となります。

【2】ルートを含む関数の微分

【3】問題と解き方

\begin \large f'(x) &\large =&\large \left((a^2-x^2\hspace)^\frac\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac(a^2-x^2\hspace)^ \cdot (a^2-x^2)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac(a^2-x^2\hspace)^ \cdot (-2x)\\[0.5em] \large &\large =&\large - x(a^2-x^2\hspace)^\\[0.5em] \large &\large =&\large - \frac\\[0.5em] \end と求められます。

\begin \large \hspacef'(x) &\large =&\large \left(3x\sqrt\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \left(3x(x^2+1)^\frac\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large (3x)'(x^2+1)^\frac + 3x\left((x^2+1)^\frac\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large 3(x^2+1)^\frac + 3x \cdot \frac(x^2+1)^ \cdot (x^2+1)'\hspace\\[0.5em] \large &\large =&\large 3(x^2+1)^\frac + 3x \cdot \frac(x^2+1)^ \cdot (2x)\\[0.5em] \large &\large =&\large 3(x^2+1)^\frac + 3x^2 (x^2+1)^\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac \\[0.7em] \large &\large =&\large \frac \\[0.5em] \end

指数法則から $$\large> = x^>$$ であることから、 \begin \large f'(x) &\large =&\large \left(\sqrt[5]\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \left(x^>\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \fracx^-1>\\[0.5em] \large &\large =&\large \fracx^>\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac> \\[0.5em] \end と求められます。

【解答と解説】 本問は、ルートに三角関数の \(\large\) を含む導関数を求める問題です。

\begin \large f'(x) &\large =&\large \left(\sqrt\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \left(\sin^ >x\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac\sin^-1>x \cdot (\sin x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac(\sin x)^ \cdot \cos x\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac \\[0.5em] \end と求められます。

【解答と解説】 本問は、ルートに三角関数の \(\large\) を含む導関数を求める問題です。