放物線の準線・焦点と一般化

放物線の準線と焦点についての基本的な公式の確認と，ある種の一般化を解説します。円と直線に同時に接する点の軌跡。

図全体を y y y 方向に a + r 2 − a = r − a 2 \dfrac - a = \dfrac 2 a + r ​ − a = 2 r − a ​ 平行移動すると，放物線は ( 0 , a + r 2 ) \left( 0,\dfrac \right) ( 0 , 2 a + r ​ ) を焦点， l ′ : y = − a + r 2 l' : y = -\dfrac l ′ : y = − 2 a + r ​ を準線とする放物線に移る。

移った先の放物線の式は x 2 = 4 ⋅ a + r 2 y x^2 = 4 \cdot \dfrac y x 2 = 4 ⋅ 2 a + r ​ y すなわち y = 1 2 ( a + r ) x 2 y = \dfrac x^2 y = 2 ( a + r ) 1 ​ x 2 となる。

これを元に戻す（ y y y 方向に a − r 2 \dfrac 2 a − r ​ 平行移動する）ことで y = 1 2 ( a + r ) x 2 + a − r 2 = x 2 + a 2 − r 2 2 ( a + r ) \begin y &= \dfrac x^2 + \dfrac\\ &= \dfrac \end y ​ = 2 ( a + r ) 1 ​ x 2 + 2 a − r ​ = 2 ( a + r ) x 2 + a 2 − r 2 ​ ​ を得る。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

• 準線と焦点から放物線を導出
• 「放物線の式」と「焦点，準線」の行き来
• 円と直線に接する点の軌跡