気柱の振動

気柱の振動 片端が節、もう片端が腹という制約があるので定常波の形状パターンは左図のようになります。 ＊ 超高層ビルの揺れ方もこれと同じになります。90°起こした形、1階部分が節で、最上階部分が腹、という感じです。 閉じる ¼波長 が1つの振動を基本振動、 ¼波長が3つの振動を3倍振動、 ¼波長が5つの振動を5倍振動、 … といいます。 閉管は奇数倍 \(2n\!-\!1\)

片端が節、もう片端が腹という制約があるので定常波の形状パターンは左図のようになります。 ＊ 超高層ビルの揺れ方もこれと同じになります。90°起こした形、1階部分が節で、最上階部分が腹、という感じです。 閉じる ¼波長 が1つの振動を基本振動、 ¼波長が3つの振動を3倍振動、 ¼波長が5つの振動を5倍振動、 … といいます。 閉管は奇数倍 \(2n\!-\!1\) の振動しかできません。2倍振動、4倍振動といった偶数倍の振動はありません。 \(2n\!-\!1\ (n=1,2,3,…)\) は \(m\ (m=1,3,5,…)\) と表現しても構いません。どちらも同じ意味です。奇数、ということです。

管の長さが \(l\) [m] のときの \(2n\!-\!1\)倍振動での波長を求めてみます。

次に振動数を求めます。音速を \(V\) [m/s] とし、振動数を \(f_\) [Hz] とすると、\(v = fλ\) という関係があるのでこの式に上式を代入しますと、

となります。この式をよく見ますと、\(V\) と \(l\) は定数なので、\(2n\!-\!1\) が 3、5、7、… と増えていくと \(f_\) も 3倍、5倍、7倍、… と増えていくことがわかります。\(2n\!-\!1\)倍振動の振動数は基本振動の振動数の \(2n\!-\!1\)倍ということです。

閉管の固有振動

定常波の形状パターンは左図のようになります。 ½波長 が1つの振動を基本振動、 ½波長が2つの振動を2倍振動、 ½波長が3つの振動を3倍振動、 … といいます。

管の長さが \(l\) [m] のときの \(n\)倍振動での波長を求めます。

次に振動数を求めます。振動数を \(f_n\) [Hz] とし、\(v = fλ\) という関係があるのでこの式に上式を代入しますと、

となります。\(V\) と \(l\) は定数なので、\(n\) が2倍になると \(f_n\) も2倍になります。\(n\)倍振動の振動数は基本振動の振動数の\(n\)倍です。

開管の固有振動

・ 弦の固有振動 （端は節と節。\(l\) は½波長の自然数倍）

・ 気柱（閉管）の固有振動 （端は節と腹。\(l\) は¼波長の奇数倍）

・ 気柱（開管）の固有振動 （端は腹と腹。\(l\) は½波長の自然数倍）

これらのことを開口端補正といいます。 おおよそ、\(Δl> ≒ 0.6r\) （\(r\) は管の断面の半径）という関係があります。