ベクトルの定義

有向線分を用いてベクトルを幾何的に定義します。有向線分とは線分に向きの概念を加えたものであり、ベクトルとは、平行移動により重なる有向線分を1つにまとめたものです。また特別なベクトルとして、零ベクトルと逆ベクトルを定義します。

すなわち、$2$ つの有向線分 $\overrightarrow$ と $\overrightarrow$ があるとして、$\overrightarrow$ を平行移動させて $A$ と $A^$ を重ねたとき、$B^$ が直線 $AB$ 上にあり、直線 $AB$ 上において（$\text$）$B$ と $B^$ が $A$ に対して同じ側にあるとき $\overrightarrow$ と $\overrightarrow$ は同じ向きであるといい、（$\text$）$B$ と $B^$ が $A$ に対して反対側にあるとき $\overrightarrow$ と $\overrightarrow$ は逆の向きであるといいます。

定義よりベクトルは「同じ長さと向きを持つ有向線分全体の集合」です。別のいい方をすれば、「平行移動により重なる有向線分を $1$ つにまとめたもの」がベクトルであるということです。

例えば、$A$ と $A^$ を異なる点として、有向線分 $\overrightarrow$ と $\overrightarrow$ が同じ長さと向きを持つ場合を考えます。このとき、$\overrightarrow$ と $\overrightarrow$ は有向線分としてはそれぞれ異なりますが、ともに同じ（$1$ つの）ベクトルを表しています。すなわち、次が成り立ちます。

平面（または空間）上に異なる $2$ 点 $A, B$ が与えられたとき、$A, B$ により定まる有向線分を $\overrightarrow$ と表し、$A, B$ により定まるベクトルを $(\, \overrightarrow \,)$ と表します。

教科書により、$\overrightarrow$ をベクトルの表記とするものもありますが、ここでは、有向線分とベクトルをよく区別するために、このような表記法をとります。この表記法は [1] などで用いられています。

平面（または空間）上のベクトルは、小太文字を用いて単に $\bm$ などとも表します。上記の 考察のとおり、ベクトルは長さと向きを合わせた概念であり、平面（または空間）上の特定の点に縛られません（自由に平行移動できる）。したがって、平面上の特定の点（$A$ や $B$）を用いずに、$1$ つの文字で表しても問題ありません。

平面（または空間）上のベクトルは（線型代数学の主な考察対象である）抽象的なベクトルの $1$ つです。

基本的で特別なベクトル#

零ベクトルとは長さが $0$ で任意の向きを持つベクトルです。

また、 ベクトルの定義にしたがって考えれば、零ベクトルは、始点と終点が等しい有向線分により定まるベクトルと捉えることもできます。すなわち、平面（または空間）上の任意の点 $A$ に対して、次が成り立ちます。

まとめ#

• 有向線分とは、線分に向きの概念を加えたもの。
  • $A, B$ を平面（または空間）上の異なる $2$ 点として、$A$ を始点、$B$ を終点とする線分 $AB$ を有向線分 $AB$ といい $\overrightarrow$ と表す。
  • 有向線分 $AB$ と同じ長さと向きを持つ有向線分全体の集合を、有向線分 $AB$ の定めるベクトルといい $(\, \overrightarrow \,)$ と表す。