置換積分の公式の証明と例題

置換積分の公式とその証明および例題を解説。定積分の場合と不定積分の場合をそれぞれ説明。

d F ( x ) d t = d x d t d F ( x ) d x = d x d t ⋅ f ( x ) = d x d t f ( g ( t ) ) \begin \dfrac &= \dfrac\dfrac\\ &= \dfrac\cdot f(x)\\ &= \dfracf(g(t)) \end d t d F ( x ) = d t d x d x d F ( x ) = d t d x ⋅ f ( x ) = d t d x f ( g ( t ))

つまり， d x d t f ( g ( t ) ) \dfracf(g(t)) d t d x f ( g ( t )) の t t t による不定積分が F ( x ) F(x) F ( x ) となることを表している。すなわち公式の右辺も F ( x ) + C F(x)+C F ( x ) + C となる。

置換積分（定積分）の公式

x = g ( t ) x=g(t) x = g ( t ) と置換すると， ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( t ) ) d x d t d t \int_a^b f(x)dx=\int_^ f(g(t))\dfracdt ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( t )) d t d x d t ただし， t t t が α → β \alpha\to \beta α → β と単調に変化するとき x x x は a → b a\to b a → b と単調に変化するものとする。

1．被積分関数を新しい変数 t t t の式で書き換える

2． d x d t \dfrac d t d x を計算してかける

定積分 ∫ 0 1 d x 1 + x 2 \displaystyle\int_0^\dfrac ∫ 0 1 1 + x 2 d x を計算せよ。

被積分関数を θ \theta θ で表すと， 1 1 + tan ⁡ 2 θ = cos ⁡ 2 θ \dfrac=\cos^2\theta 1 + tan 2 θ 1 = cos 2 θ
d x d θ = 1 cos ⁡ 2 θ \dfrac=\dfracd θ d x = cos 2 θ 1
x x x が 0 0 0 のとき θ = 0 \theta=0 θ = 0 ， x = 1 x=1 x = 1 のとき θ = π 4 \theta=\dfracθ = 4 π 以上より求める定積分の値は， ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 θ 1 cos ⁡ 2 θ d θ = π 4 \int_0^\cos^2\theta\dfracd\theta=\dfrac∫ 0 4 π cos 2 θ cos 2 θ 1 d θ = 4 π

注： a 2 + x 2 a^2+x^2 a 2 + x 2 というかたまりがあるときは x = a tan ⁡ θ x=a\tan\theta x = a tan θ と置換するとうまくいくことが多いです。また，新しい変数は t t t としてもよいですが， tan ⁡ \tan tan の中身なので θ \theta θ にしました。

f ( x ) f(x) f ( x ) の原始関数の一つを F ( x ) F(x) F ( x ) とする。不定積分の場合の公式より F ( g ( t ) ) F(g(t)) F ( g ( t )) が f ( g ( t ) ) d x d t f(g(t))\dfrac f ( g ( t )) d t d x の原始関数の一つであることが分かる。よって，

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ( g ( β ) ) − F ( g ( α ) ) = ∫ α β f ( g ( t ) ) d x d t d t \begin &\int_a^b f(x)dx\\ &=F(b)-F(a)\\ &=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\ &=\int_^f(g(t))\dfracdt \end ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ( g ( β )) − F ( g ( α )) = ∫ α β f ( g ( t )) d t d x d t

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

不定積分の場合の置換積分と例題
置換積分の公式（不定積分）の証明
定積分の場合の置換積分と例題
置換積分の公式（定積分）の証明