作図・線分の３等分

問題

下の図の線分 \(AB\) を、 \(1:2\) の比に分ける点 \(P\) を作図しなさい。

解説

有名な作図です。何も知らない状態で、この作図方法を思いつくのは至難です。解説を読んで理解・暗記しましょう。

ずばり、作図方針は「相似の利用」です。ピラミッド型の三角形を利用します。

下図のような図が目標です。

どうやって作図するのかは、後の話です。今は、\(P\) が、\(AB\) を \(1:2\) に分けていることを理解しましょう。

では作図方法です。まず、線分 \(AC\) をひきます。 \(C\) はどこであってもかまいませんが下図くらいが、後の作図がやりやすいです。

次に、コンパスを用いて、線分 \(AC\) 上に等しい長さを \(3\) つとります。下の図で、\(AQ=QR=RS\) です。 \(AQ\) の長さも、どれくらいであってもかまいません。 \(3\) つの長さが等しいことが重要で、その長さはいくつであってもOKです。

\(S\) と \(B\) を結びます。この \(SB\) と平行で \(Q\) を通る平行線を引けば作図完了です。 \(AB\) との交点が点 \(P\) の位置です。

※平行線の作図は、ひし形の作図です。 \(BS\) を上に延長、 \(BQ\) を半径とする円を用いて、 \(BQ\) を \(1\) 辺とするひし形を作図することで、平行線の作図ができます。