. サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ
サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ
サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ
  • レベル: ★ 最難関大受験対策
  • 積分
  • 微分

更新 2025/11/14

この記事では，サイクロイドに関する面積，体積，長さの求め方を解説します。

サイクロイドと面積・体積・長さ

サイクロイド曲線 C:C:C: {x=a(θ−sin⁡θ)y=a(1−cos⁡θ) \begin{cases} x = a(\theta - \sin \theta)\\ y = a(1-\cos \theta) \end{cases} {x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)​ （a>0,0≦θ≦2πa>0, 0 \leqq \theta \leqq 2 \pia>0,0≦θ≦2π）について，

  • CCC と xxx 軸で囲まれた部分の面積は 3πa23 \pi a^23πa2
  • xxx 軸周りの回転体の体積は 5π2a35\pi^2 a^35π2a3
  • 長さは 8a8a8a

積分計算のよい練習になります。

準備：サイクロイドのグラフ

サイクロイドは「円を転がした時の円周上の1点が動く軌跡」であり，媒介変数表示を用いて表される代表的な曲線です。

面積や体積，長さを求める準備として，まずはサイクロイドのグラフを描いてみます。

サイクロイドの媒介変数表示 {x=a(θ−sin⁡θ)y=a(1−cos⁡θ) \begin{cases} x = a(\theta - \sin \theta)\\ y = a(1-\cos \theta) \end{cases} {x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)​ に対して，xxx を θ\thetaθ で微分すると， dxdθ=a(1−cos⁡θ) \dfrac{dx}{d\theta} = a(1-\cos\theta) dθdx​=a(1−cosθ) となります。0<θ<2π0 < \theta < 2\pi0<θ<2π の範囲では 1−cos⁡θ1-\cos\theta1−cosθ は正なので，θ\thetaθ が増加するにつれて xxx は増加します。

また， yyy を θ\thetaθ で微分すると， dydθ=asin⁡θ \dfrac{dy}{d\theta} = a\sin\theta dθdy​=asinθ となるので θ\thetaθ が増加するにつれ，0<θ<π0<\theta<\pi0<θ<π の範囲では yyy は増加， π<θ<2π\pi<\theta< 2\piπ<θ<2π の範囲では yyy は減少します。

また，yyy の符号について考えると，1−cos⁡θ≧01- \cos \theta \geqq 01−cosθ≧0 より， y=a(1−cos⁡θ)≧0 y = a(1-\cos\theta) \geqq 0 y=a(1−cosθ)≧0 が成立します。

これらに基づくと，グラフの概形は図のようになります。軌跡を描く点は右に動きつつ，θ=π\theta = \piθ=π までは上へ，それ以降は下へ動きます。

サイクロイドの面積を積分で求める

サイクロイド曲線と xxx 軸で囲まれた部分の面積 SSS は，公式より， S=∫02πaydx S = \int_0^{2\pi a} y dx S=∫02πa​ydx で計算できます。これを，置換積分を用いて θ\thetaθ で積分していきます。 dxdθ=a(1−cos⁡θ) \dfrac{dx}{d\theta} = a(1-\cos\theta) dθdx​=a(1−cosθ) であり， xxx が 0→2πa0 \rightarrow 2\pi a0→2πa となるとき， θ\thetaθ は 0→2π0 \rightarrow 2\pi0→2π となります。よって， S=∫02πay(dxdθ)dθ=∫02πa(1−cos⁡θ)⋅a(1−cos⁡θ)dθ=a2∫02π(1−2cos⁡θ+cos⁡2θ)dθ \begin{aligned} S &= \int_0^{2\pi a} y \left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} a(1-\cos\theta) \cdot a(1-\cos\theta)d\theta \\ &= a^2 \int_0^{2\pi} (1-2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta \\ \end{aligned} S​=∫02πa​y(dθdx​)dθ=∫02π​a(1−cosθ)⋅a(1−cosθ)dθ=a2∫02π​(1−2cosθ+cos2θ)dθ​ ここで， cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta= \dfrac{1+\cos2 \theta}{2}cos2θ=21+cos2θ​ により S=a2∫02π(1−2cos⁡θ+1+cos⁡2θ2)dθ=a2∫02π(32−2cos⁡θ+cos⁡2θ2)dθ=a2[32θ−2sin⁡θ+sin⁡2θ4]02π=3πa2 \begin{aligned} S &= a^2 \int_0^{2\pi} \left(1-2\cos\theta + \dfrac{1+\cos2 \theta}{2}\right)d\theta \\ &= a^2 \int_0^{2\pi} \left(\dfrac{3}{2}-2\cos\theta + \dfrac{\cos2 \theta}{2}\right)d\theta \\ &= a^2 \left[\dfrac{3}{2}\theta -2\sin\theta + \dfrac{\sin2 \theta}{4}\right]_0^{2\pi}\\ &= 3\pi a^2 \end{aligned} S​=a2∫02π​(1−2cosθ+21+cos2θ​)dθ=a2∫02π​(23​−2cosθ+2cos2θ​)dθ=a2[23​θ−2sinθ+4sin2θ​]02π​=3πa2​

これより， SSS は転がる円の面積のちょうど 333 倍であることがわかります。

やっていることは単純で，ただ置換積分をしているだけです。置換積分は計算ミスをしやすいので，落ち着いて計算しましょう。

最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉 の問題236では，ガウスグリーンの公式を用いた別解も紹介しています。

サイクロイドの回転体の体積を積分で求める

回転体の体積を求める公式： V=∫abπ{f(x)}2dx V = \int_a^b \pi \{f(x)\}^2dx V=∫ab​π{f(x)}2dx を使うと， xxx 軸周りの回転体の体積 VVV は V=π∫02πay2dx=π∫02πa2(1−cos⁡θ)2⋅a(1−cos⁡θ)dθ=πa3×∫02π(1−3cos⁡θ+3cos⁡2θ−cos⁡3θ)dθ \begin{aligned} V &= \pi \int_0^{2\pi a}y^2 dx\\ &= \pi \int_0^{2\pi}a^2(1-\cos\theta)^2 \cdot a(1-\cos\theta) d\theta\\ &= \pi a^3 \times \\ &\int_0^{2\pi}(1-3\cos\theta +3\cos^2\theta - \cos^3 \theta)d\theta \end{aligned} V​=π∫02πa​y2dx=π∫02π​a2(1−cosθ)2⋅a(1−cosθ)dθ=πa3×∫02π​(1−3cosθ+3cos2θ−cos3θ)dθ​ ここで， cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2cos⁡3θ=cos⁡3θ+3cos⁡θ4 \begin{aligned} \cos^2 \theta &= \dfrac{1+\cos2 \theta}{2} \\ \cos^3 \theta &= \dfrac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4} \end{aligned} cos2θcos3θ​=21+cos2θ​=4cos3θ+3cosθ​​ により V=πa3∫02π(52−154cos⁡θ+32cos⁡2θ−14cos⁡3θ)dθ=πa3[52θ−154sin⁡θ+34sin⁡2θ−112sin⁡3θ]02π=5π2a3 \begin{aligned} V &= \pi a^3 \int_0^{2\pi}\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{15}{4}\cos\theta+\dfrac{3}{2}\cos 2\theta - \dfrac{1}{4}\cos 3 \theta\right)d\theta \\ &= \pi a^3 \left[\dfrac{5}{2}\theta -\dfrac{15}{4}\sin\theta + \dfrac{3}{4}\sin 2 \theta - \dfrac{1}{12}\sin 3\theta\right]_0^{2\pi}\\ &= 5 \pi^2 a^3 \end{aligned} V​=πa3∫02π​(25​−415​cosθ+23​cos2θ−41​cos3θ)dθ=πa3[25​θ−415​sinθ+43​sin2θ−121​sin3θ]02π​=5π2a3​ となります。

公式に当てはめてしまえば，あとは単純な計算問題でした（計算量は重いですが）。

サイクロイドの長さを積分で求める

曲線の長さを求める公式： L=∫αβf′(t)2+g′(t)2dt L = \int_\alpha^\beta \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}dt L=∫αβ​f′(t)2+g′(t)2​dt を使うと，サイクロイド曲線の長さ LLL は L=∫02π(dxdθ)2+(dydθ)2dθ=∫02πa2(1−cos⁡θ)2+a2sin⁡2θdθ=∫02πa2−2cos⁡θdθ \begin{aligned} L &= \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2 + a^2 \sin^2 \theta}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} a\sqrt{2-2\cos\theta}d\theta \\ \end{aligned} L​=∫02π​(dθdx​)2+(dθdy​)2​dθ=∫02π​a2(1−cosθ)2+a2sin2θ​dθ=∫02π​a2−2cosθ​dθ​ ここで， 1−cos⁡θ=2sin⁡2θ21-\cos\theta = 2 \sin^2 \dfrac{\theta}{2}1−cosθ=2sin22θ​ を用いると， L=∫02πa2(1−cos⁡θ)dθ=∫02πa2⋅2sin⁡2θ2dθ=∫02π2a∣sin⁡θ2∣dθ \begin{aligned} L &= \int_0^{2\pi} a\sqrt{2(1-\cos\theta)}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} a\sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \dfrac{\theta}{2}}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} 2a\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|d\theta \\ \end{aligned} L​=∫02π​a2(1−cosθ)​dθ=∫02π​a2⋅2sin22θ​​dθ=∫02π​2a∣∣​sin2θ​∣∣​dθ​ 0≦θ≦2π0 \leqq \theta \leqq 2\pi0≦θ≦2π より 0≦θ2≦π0 \leqq \dfrac{\theta}{2} \leqq \pi0≦2θ​≦π であるから， sin⁡θ2≧0\sin\dfrac{\theta}{2} \geqq 0sin2θ​≧0

よって絶対値がそのまま外せて L=∫02π2asin⁡θ2dθ=2a[−2cos⁡θ2]02π=8a \begin{aligned} L &= \int_0^{2\pi} 2a\sin\dfrac{\theta}{2}d\theta \\ &= 2a \left[-2\cos \dfrac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi} \\ &= 8a \end{aligned} L​=∫02π​2asin2θ​dθ=2a[−2cos2θ​]02π​=8a​ となります。

サイクロイドの曲線の長さには π\piπ が出てきません。半径の 888 倍という綺麗な結果になります。

1−cos⁡θ\sqrt{1-\cos\theta}1−cosθ​ が積分に出てきて少し戸惑うかもしれませんが，半角の公式を使うことでルートを外せることを知っておきましょう。また，ルートを外す際には絶対値記号をつけることを忘れずに。

サイクロイドは試験でよく題材として取り上げられるので，結果を覚えておくと検算等に使えるかもしれません。

この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。 受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。 大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。 学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。

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