morikomorou’s blog

フラクタル図形といえば、で有名なマンデルブロ集合を今回は書いていきます。

マンデルブロ集合とは？
- マンデルブロ集合の定義
pythonで実装
- 漸化式での発散判定の関数
- 全コード
マンデルブロ集合の旅

マンデルブロ集合とは？

下記のような図形のことです。見たことありますか？

不思議な形はしてるけど何が面白いの？ってところですが、拡大すればするほど不思議な図形が浮かび上がってきます。 youtubeで以下の動画が人気ですね。1時間ずーっと拡大してます笑

マンデルブロ集合の定義

すごく複雑ですが、すごく簡単な数式で定義されています。以下に示す漸化式で定義される複素数列を考えます。

の極限でが無限大に発散しないという条件に当てはまる複素数の集合をマンデルブロ集合といいます。よく見るあの形は、実数を用いてとしてx,y平面上にプロットしたものです。色は発散までの速さを示しています。を増やしていく間に何回で発散したかというものです。発散したかどうかの判定は、一度でもとなればは無限大に発散するという性質を利用します。

pythonで実装漸化式での発散判定の関数

compに座標をいれてその座標における複素数が発散するかどうか判定します。色付けに使用したいので、出力には発散までの回数を出力させます。

def mandelbrot(n, comp): c = complex(comp[0], comp[1]) z = complex(0, 0) for i in range(n): z = z*z + c # zの絶対値が一度でも2を超えればzが発散 if abs(z) >= 2: return i return n # 無限大に発散しない場合にはnを返す

全コード

上記の関数を使って、グラフを描いてみましょう。プロット用の関数を作り、画像としたいエリアの中心座標x_c, y_cとエリアの横幅width、そして、画像の解像度と発散判定の繰り返し回数nを引数に入れて自由にいじって遊べるようにしております。画像はPCの壁紙とかに使えるかなと思って16:9のアスペクト比にしています。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def mandelbrot(n, comp): c = complex(comp[0], comp[1]) z = complex(0, 0) for i in range(n): z = z*z + c # zの絶対値が一度でも2を超えればzが発散 if abs(z) >= 2: return i return n # 無限大に発散しない場合にはnを返す def plot_mand(x_c, y_c, width, resolution, n): height = width * 9 / 16 xres = resolution * 16 // 25 yres = resolution * 9 // 25 x = np.linspace(x_c - width / 2, x_c + width / 2, xres) y = np.linspace(y_c - height / 2, y_c + height / 2, yres) #実部と虚部の組み合わせを作成 X, Y = np.meshgrid(x, y) mesh = np.zeros(len(X.ravel())) for i, comp in enumerate(zip(X.ravel(), Y.ravel())): mesh[i] = mandelbrot(n, comp) mesh = mesh.reshape((yres, xres)) fig = plt.figure(dpi=600) plt.axis('off') plt.imshow(mesh, cmap="jet") fig.tight_layout() plt.show() #画像を保存 fig.savefig("mandelbrot.png", bbox_inches='tight') plot_mand(0, 0, 4.4, 4000, 50)

↓今回は実部0.0, 虚部0.0, 幅4.4, 解像度4000, 繰り返し回数50で描画しました。

マンデルブロ集合の旅

最初に示した動画みたいに、拡大していくと面白い図形が表れていくみたいです。マンデルブロ探検家の先人たちが、名所探しみたいなものをやっていて、名所の座標と幅等のデータがいろいろ転がってますので、試しにやってみてください。

以下ギャラリー x_c =-0.743643135, y_c = 0.131825963, width = 0.000014628, n = 1000

x_c =-0.7435, y_c = 0.1314, width = 0.002, n = 500

リンク

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